Phi, proportia de aur

Categorii: General

23-Oct-2014 18:59 - 642 vizionari

φ (1.6180339887498949) - raportul de aur sau proportia de aur (Google: golden ratio) este un numar irational
la fel ca π (3.14159265358979323846264338327…)
sau e (2.7182818284590452353602874713527…).

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

φ se obtine rezolvand ecuatia φ + 1 = φ2

Pentru ca φ reprezinta o proportie, se alege valoarea pozitiva dintre radacinile ecuatiei de gradul al II-lea, adica valoarea 1.618033…

Proportia de aur este cunoscuta de peste 2400 de ani: Phidias (490-430 BC), Pitagora, Euclid, Leonardo din Pisa (Fibonacci), Johannes Kepler, Roger Penrose, …

φ se mai poate obtine impartind doi termeni consecutivi dintr-o serie Fibonacci, orice serie Fibonacci, nu numai din seria 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Un program in python care calculeaza φ in trei moduri:
φ = (1.0 + math.sqrt(5))/2.0 sau φ este determinat din seria Fibonacci definit in functia calcul_phi(a,b,n) apelata de doua ori.

In imaginea de mai jos este rezultatul executiei programului si se observa ca functiile calcul_phi(1,1,40) si calcul_phi(45,4000,40) returneaza aceeasi valoare dupa un numar suficient de mare de pasi.

Stabilind un coeficient de aproximare (variabila epsilon in program) cat mai mic se poate afla numarul de pasi in care valoarea calculata prin raportul de termeni consecutivi din seria Fibonacci este aproximativ egala cu radacina positiva a ecuatiei de gradul al II-lea, φ = (1.0 + math.sqrt(5))/2.0.

Pentru epsilon = 1e-13 sunt necesare 30 de iteratii.
Pentru epsilon = 1e-16 sunt necesare 37 de iteratii.
Orice valoare mai mica de 1e-16 pentru epsilon duce la acelasi rezultat datorita atingerii nivelului maxim de precizie folosit de python.

rezultat calcul phi in python

 

Valoarea lui φ se gaseste peste tot in natura.
Google: golden ratio in nature

Este redundant sa amintesc unde in natura se gaseste si mentionez ca reprezinta semnatura Creatorului.



Ultimele pagini: RSS

Alte adrese de Internet

Categorii

Istoric



Contorizari incepand cu 9 iunie 2014:
Flag Counter

Atentie: Continutul acestui server reprezinta ideile mele si acestea pot fi gresite.